Hudba prvočísel · díl 2 ze 3

Za hranicí diagonály: tajemství posledního procenta

V prvním díle zůstala viset malá, zhruba procentní odchylka v nejnižších blocích. Šum, nebo stopa něčeho hlubšího? Odpověď skrývají dvojice prvočísel — a překvapivě i úplně první nuly zeta funkce.

David Hessčtení zhruba 8 minutnavazuje na díl 1

Když jsme v prvním díle ukázali, že nuly Riemannovy zeta funkce si skrze Berryho vzorec pamatují prvočísla, zůstala jedna nepříjemná otázka: co s tou drobnou, zhruba procentní odchylkou v nejnižších blocích?

Navazující studie bere tytéž miliony nul a podrobuje je zkoušce podle pokročilejšího vzorce Eugena Bogomolného a Jonathana Keatinga. Výsledek? Záhadný „šum“ se ukázal jako skutečná fyzika — a prvočísla odhalila další, ještě podivuhodnější vrstvy řádu.

200 000nul v testovaných blocích zeros6

≤ 0,93 σodchylka nového vzorce od dat

4–10 %hloubka „ozvěn“ prvních nul

3·10⁻¹³relativní přesnost explicitního vzorce

01Konec záhady jednoho procenta

Berryho vzorec z prvního dílu stojí na takzvané diagonální aproximaci. Rozptyl počtu nul je ve skutečnosti dvojitý součet přes páry prvočíselných orbit — a Berry ponechal jen páry, kde se orbita setká sama se sebou.

Představte si · orchestr

Diagonální aproximace je, jako byste hlasitost orchestru odhadli jako součet hlasitostí jednotlivých nástrojů hrajících sólo. Většinou to vyjde skoro přesně. Jenže nástroje se slyší navzájem — jejich vlny se sčítají i ruší. To jsou mimodiagonální členy: souhra dvou různých prvočísel s podobnou periodou.

Bogomolny a Keating tuto souhru zahrnuli. Jak často jsou dvě prvočísla blízko sebe, popisuje slavná Hardyho–Littlewoodova domněnka o dvojicích prvočísel — a vzorec z ní vychází bez jediného volného parametru.

Poslední procento: šum, nebo fyzika?

Pod zlatou čárou je odchylka nerozlišitelná od náhodného šumu.

Bez volného parametru: mimodiagonální korekce stojí na Hardyho–Littlewoodových konstantách pro dvojice prvočísel, nic se nefituje.

To dřívější jedno procento tedy nebyl šum, ale skutečný projev chybějících mimodiagonálních korekcí. Jakmile je přidáme, data a teorie splynou.

02Dva aritmetické motory

Vzorec v sobě nese dvě aritmetické složky: opakování mocnin prvočísel Φ_d a Hardyho–Littlewoodův faktor pro dvojice prvočísel Φ_o. Co se stane, když je jednu po druhé vypneme?

Dva aritmetické motory

Co se stane s předpovědí, když jeden z faktorů „vypneme“?

Φ_d nese hlavní tíhu hladké korekce rozptylu. Φ_o je v rozptylu skoro neviditelný, zato ladí jemnou strukturu form faktoru a rychlé oscilace.

Co vypneme	Co se stane	Kde má faktor hlavní roli
Oba činitele (zbude jen „zeta část“ vzorce)	selhání stejně tragické jako čistá GUE — odchylky v desítkách σ	—
Φ_d · opakování mocnin	rozptyl počtu nul se změní o 4,4–4,6 %	hladká korekce rozptylu
Φ_o · Hardy–Littlewood	změna jen kolem 0,5 %	jemná struktura form faktoru, rychlé oscilace

Na velmi krátkých vzdálenostech jsou oba faktory pevně svázány a nejdou oddělit: navzájem se vyrovnávají přesně spočitatelným způsobem.

03Resurgence: vysoké nuly si pamatují ty nejnižší

Nejkouzelnější výsledek studie potvrzuje předpověď Berryho a Keatinga o takzvané resurgenci — doslova „znovuzrození“. Když se podíváte na statistiku nul vysoko nahoře, kolem výšky 10⁶ nebo až 10²¹, najdete tři věci:

v párové korelaci nul se objevují nepatrné poklesy o 4 až 10 %,
tyto poklesy leží přesně na výškách prvních deseti nul, od γ₁ = 14,13 po γ₁₀ = 49,77,
a v rozptylu počtu nul Σ²(L) naskakují vrcholy přesně tam, kde délka okna odpovídá násobkům prvních nul.

Ozvěna prvních nul

Kde přesně se ve statistice nul z výšky 10⁶ až 10²¹ objevují poklesy hloubky 4–10 %.

Schéma poloh, nikoli hloubek: všechny poklesy jsou nakresleny stejně. Hodnoty γ₁ až γ₁₀ jsou výšky prvních deseti nul zeta funkce.

Nuly milionkrát až 10²⁰krát výš nesou živou paměť na samý začátek — na první nuly zeta funkce.

Vzorec Bogomolného a Keatinga tuto ozvěnu popisuje s obdivuhodnou přesností. Náhodná prvočísla Cramérova modelu nic takového nevytvoří: ozvěna je čistě aritmetická.

04Velký audit klasických předpovědí

Studie zároveň funguje jako audit dalších pilířů matematické fyziky zeta funkce:

perioda 1Rychlé oscilace. Na jemné mřížce vykazuje rozptyl počtu nul rychlé vlnění s periodou 1 — přesně podle předpovědi.

r ≤ 100„Dekorovaný faktoriál“. Koeficienty Riemannovy–Siegelovy řady až do řádu r = 100 odpovídají Berryho asymptotickému vzorci.

n ≤ 999Riemannův vzorec pro π(x). S prvními 1 000 nulami dá prosté zaokrouhlení správný počet prvočísel pro každé n ≤ 999.

3·10⁻¹³Hudba prvočísel. Explicitní vzorec s gaussovskou testovací funkcí propojuje nuly a mocniny prvočísel s touto relativní přesností.

Nuly „vyzpívají“ prvočísla

Riemannův explicitní vzorec: hladká křivka plus vlny od nul zeta funkce. Najeďte myší na graf.

skutečný počet π(x)bez nul — jen hladký člens prvními 30 nulami

Náš ilustrační výpočet (Riemannova funkce J(x) s Möbiovou inverzí, prvních 30 nul). Už 30 vln vykreslí schody v místech prvočísel 2, 3, 5, 7, 11, … Studie jde mnohem dál: s 1 000 nulami dá zaokrouhlení správné π(n) pro každé n ≤ 999.

Zkusíte-li skutečné nuly nahradit „hladkými“ fiktivními náhražkami se stejnou hustotou, vzorec pro π(x) totálně selže. Prvočísla zkrátka vyžadují přesné polohy skutečných nul — stejně jako v prvním díle nuly vyžadovaly přesné polohy prvočísel. Je to obousměrná ulice.

05Shrnutí pod čarou

✓ Co studie ukázala

Chování nul na dlouhých vzdálenostech i v detailech není náhodné. Je to symfonie psaná aritmetikou prvočísel — od mimodiagonálních korekcí až po ozvěny prvních nul — a vzorce bez volných parametrů ji zachytí do jedné směrodatné chyby.

✗ Co z toho neplyne

Nic z toho nedokazuje ani nevyvrací Riemannovu hypotézu. Vzorce předpokládají, že nuly leží na kritické přímce, a testují, jak přesně rezonuje skrytý řád.

Slovníček pojmů

Diagonální aproximace: Ve dvojitém součtu přes páry orbit ponecháme jen páry, kde jsou obě orbity totožné.
Mimodiagonální členy: Příspěvky párů různých prvočíselných orbit s blízkými periodami. Jejich váhu určují korelace mezi prvočísly.
Hardyho–Littlewoodova domněnka: Předpověď, jak často se vyskytují dvojice prvočísel s daným rozestupem (například prvočíselná dvojčata p a p + 2).
Spektrální form faktor: Fourierův obraz párové korelace nul — ukazuje, které „periody“ ve spektru znějí.
Resurgence: Jev, kdy se v asymptotice vysokých nul znovu objevuje informace o nulách nízkých.
Riemannova–Siegelova řada: Rychlý vzorec pro výpočet ζ na kritické přímce; její koeficienty pro vysoké řády rostou jako „dekorovaný faktoriál“.

Studie, data a kód

Studie II · Za diagonální aproximací (Bogomolny–Keating)

Zenodo · článek a dataDOI 10.5281/zenodo.23928017

GitHub · kód a reprodukcegithub.com/Dhess1978/bogomolny-keating-zeta

Celá série na Zenodu: Studie I · Studie II · Studie III · licence CC BY 4.0 (text, data) a MIT (kód)

Grafy jsou interaktivní — najeďte myší na křivky a body.

The music of the primes · part 2 of 3

Beyond the diagonal: the secret of the last per cent

Part one left a small, roughly one-per-cent deviation in the lowest blocks. Noise, or the trace of something deeper? The answer hides in pairs of primes — and, surprisingly, in the very first zeros of the zeta function itself.

David Hessabout 8 min readfollows part 1

When part one showed that the zeros of the Riemann zeta function remember the primes through Berry's formula, one awkward question remained: what about that small, roughly one-per-cent deviation in the lowest blocks?

The follow-up study takes the same millions of zeros and tests them against the more advanced formula of Eugene Bogomolny and Jonathan Keating. The result? The mysterious “noise” turned out to be real physics — and the primes revealed further, even more remarkable layers of order.

200,000zeros in the tested zeros6 blocks

≤ 0.93 σdeviation of the new formula from the data

4–10%depth of the “echoes” of the first zeros

3·10⁻¹³relative accuracy of the explicit formula

01The end of the one-per-cent mystery

Berry's formula from part one rests on the so-called diagonal approximation. The number variance is really a double sum over pairs of prime orbits — and Berry kept only the pairs in which an orbit meets itself.

Picture this · an orchestra

The diagonal approximation is like estimating the loudness of an orchestra as the sum of each instrument playing solo. Most of the time that comes out nearly right. But the instruments hear each other — their waves add up and cancel. Those are the off-diagonal terms: the interplay of two different primes with similar periods.

Bogomolny and Keating included this interplay. How often two primes sit close together is described by the famous Hardy–Littlewood conjecture on prime pairs — and the formula follows from it without a single free parameter.

The last per cent: noise or physics?

Below the gold line a deviation is indistinguishable from random noise.

No free parameter: the off-diagonal correction rests on the Hardy–Littlewood constants for prime pairs; nothing is fitted.

So that earlier one per cent was not noise but a genuine signature of the missing off-diagonal corrections. Once we add them, data and theory merge.

02Two arithmetic engines

The formula carries two arithmetic components: repetitions of prime powers Φ_d and the Hardy–Littlewood factor for prime pairs Φ_o. What happens when we switch them off one at a time?

Two arithmetic engines

What happens to the prediction when we “switch off” one of the factors?

Φ_d carries the bulk of the smooth variance correction. Φ_o is almost invisible in the variance but tunes the fine structure of the form factor and the fast oscillations.

Switched off	What happens	Where the factor matters most
Both factors (only the “zeta part” of the formula remains)	a failure as dramatic as pure GUE — deviations of tens of σ	—
Φ_d · prime-power repetition	number variance changes by 4.4–4.6%	smooth correction of the variance
Φ_o · Hardy–Littlewood	change of only about 0.5%	fine structure of the form factor, fast oscillations

At very short distances the two factors are tightly coupled and cannot be separated: they balance each other in an exactly computable way.

03Resurgence: high zeros remember the lowest ones

The most magical result of the study confirms a prediction by Berry and Keating about so-called resurgence — literally “rebirth”. Look at the statistics of zeros high up, around height 10⁶ or even 10²¹, and you find three things:

the pair correlation of the zeros shows tiny dips of 4 to 10%,
these dips sit exactly at the heights of the first ten zeros, from γ₁ = 14.13 to γ₁₀ = 49.77,
and the number variance Σ²(L) shows peaks exactly where the window length matches multiples of the first zeros.

An echo of the first zeros

Exactly where dips 4–10% deep appear in the statistics of zeros at heights 10⁶ to 10²¹.

A schematic of positions, not depths: all dips are drawn alike. γ₁ to γ₁₀ are the heights of the first ten zeta zeros.

Zeros a million to 10²⁰ times higher carry a living memory of the very beginning — of the first zeros of the zeta function.

The Bogomolny–Keating formula describes this echo with remarkable accuracy. The random primes of the Cramér model produce nothing of the kind: the echo is purely arithmetic.

04A grand audit of classic predictions

The study also works as an audit of other pillars of the mathematical physics of the zeta function:

period 1Fast oscillations. On a fine grid the number variance shows rapid ripples with period 1 — exactly as predicted.

r ≤ 100The “decorated factorial”. Riemann–Siegel series coefficients up to order r = 100 match Berry's asymptotic formula.

n ≤ 999Riemann's formula for π(x). With the first 1,000 zeros, simple rounding gives the correct prime count for every n ≤ 999.

3·10⁻¹³The music of the primes. The explicit formula with a Gaussian test function links zeros and prime powers to this relative accuracy.

The zeros “sing out” the primes

Riemann's explicit formula: a smooth curve plus waves from the zeta zeros. Hover over the chart.

actual count π(x)no zeros — smooth term onlywith the first 30 zeros

Our illustrative computation (Riemann's J(x) with Möbius inversion, first 30 zeros). Thirty waves already draw the steps at the primes 2, 3, 5, 7, 11, … The study goes much further: with 1,000 zeros, rounding gives the correct π(n) for every n ≤ 999.

Replace the real zeros with “smooth” fictitious stand-ins of the same density and the formula for π(x) fails completely. The primes simply require the exact positions of the real zeros — just as in part one the zeros required the exact positions of the primes. It is a two-way street.

05The bottom line

✓ What the study showed

The behaviour of the zeros at long range and in the details is not random. It is a symphony written in the arithmetic of the primes — from off-diagonal corrections to the echoes of the first zeros — and parameter-free formulas capture it to within one standard error.

✗ What does not follow

None of this proves or disproves the Riemann Hypothesis. The formulas assume the zeros lie on the critical line and test how precisely the hidden order resonates.

Glossary

Diagonal approximation: In the double sum over pairs of orbits, keep only the pairs in which both orbits are identical.
Off-diagonal terms: Contributions from pairs of different prime orbits with nearby periods. Their weight is set by correlations between primes.
Hardy–Littlewood conjecture: A prediction of how often pairs of primes with a given gap occur (for example twin primes p and p + 2).
Spectral form factor: The Fourier transform of the pair correlation of the zeros — it shows which “periods” sound in the spectrum.
Resurgence: The phenomenon whereby information about low zeros reappears in the asymptotics of high zeros.
Riemann–Siegel series: A fast formula for computing ζ on the critical line; its coefficients at high orders grow like a “decorated factorial”.

Paper, data and code

Study II · Beyond the diagonal approximation (Bogomolny–Keating)

Zenodo · paper and dataDOI 10.5281/zenodo.23928017

GitHub · code and reproductiongithub.com/Dhess1978/bogomolny-keating-zeta

The whole series on Zenodo: Study I · Study II · Study III · licence CC BY 4.0 (text, data) and MIT (code)

The charts are interactive — hover over the curves and points.