Hudba prvočísel · díl 3 ze 3
795 381 hlasů jednoho sboru
Po zeta funkci přichází na řadu celá rodina jejích příbuzných — kvadratické Dirichletovy L-funkce. Miliony nul, jedna domněnka, která je všechny řídí, a záhada, proč „sousedé“ šumí méně než náhodný výběr.
V prvních dvou dílech jsme poslouchali sólo jediného zpěváka — Riemannovy zeta funkce. Teď před námi stojí celý sbor: 795 381 L-funkcí, každá s vlastními nulami, a všechny zpívají podle stejné partitury.
Třetí studie se zaměřuje na rodinu kvadratických Dirichletových L-funkcí L(s, χD). K základní rodině později přibyla rozšířená rodina E100 s dalšími 121 557 funkcemi. Dohromady miliony spočtených nul — a testy, které rozhodují mezi dvěma velkými teoriemi.
Vezměte zeta funkci 1 + 1/2s + 1/3s + … a každému členu přidejte znaménko χD(n). Pro prvočíslo p je χD(p) = +1, když je D čtvercem modulo p, a −1, když není (a 0, když p dělí D). Každé číslo D — diskriminant — tak dává vlastní funkci. Velikost |D| je její vodič, tedy jakási „složitost“.
Na rozdíl od zeta funkce tu má zvláštní roli středový bod s = ½: nuly jsou kolem něj rozloženy symetricky a — jak uvidíme — se mu vyhýbají.
01Domněnka poměrů vítězí, limita USp je v nedohlednu
Podle Katze a Sarnaka se nuly takové rodiny v limitě nekonečně velkých vodičů chovají jako vlastní čísla náhodných matic z unitární symplektické grupy USp. Jejich nejslavnější podpis: hustota nul u středového bodu klesá k nule, nuly se od něj odpuzují.
Potíž je v tom, že limita je opravdu limitou. Hustota u středového bodu klesá z 0,772 (při |D| ≈ 2·10³) na 0,527 (při |D| = 10¹⁰) — a pořád zůstává 12,6 až 39 směrodatných chyb nad teoretickou limitou 0,411.
Vlak jede správným směrem, ale každý řád vodiče ho posune jen o kousek. Korekce totiž slábnou jen jako 1/ln |D| — a logaritmus roste neskutečně pomalu. Z 10³ na 10¹⁰ je sedm řádů, ale ln |D| se zvětší jen zhruba třikrát.
Kdo tedy data popíše? Domněnka poměrů (ratios conjecture) v podobě Conreyho a Snaithové, která počítá i s členy nižšího řádu pro konečné vodiče.
02Záhada souvislých rodin
Studie porovnávala dva typy rodin: souvislá pásma po sobě jdoucích diskriminantů a náhodné výběry stejné velikosti. Souvislé rodiny vycházely v testech podezřele dobře — s nižším χ². Proč?
Mechanismus je elegantní. Hodnota χD(p) se s rostoucím D periodicky opakuje. V úseku po sobě jdoucích diskriminantů délky Δ proto průměry χD(p) pro prvočísla p < Δ proběhnou téměř celé periody — a jejich příspěvky se vyruší.
Souvislá rodina tak funguje jako dolní propust ve frekvenci prvočísel: utlumí všechny „tóny“ až po mezní frekvenci
uc = ln Δ / ln(|D|/π)
Podobné jevy se v posledních letech zkoumají v literatuře o takzvaných murmuracích Dirichletových charakterů — nečekaných vlnách, které vystoupí, když průměrujete přes velké rodiny.
Nabízí se jednodušší vysvětlení: možná jen záleží na tom, jak jsou v rodině zastoupeny zbytkové třídy D mod M. Studie to prověřila pro 19 různých modulů od 3 do 840. Výsledek: vyrovnání zbytkových tříd jev plně nereprodukuje. Zbytkové třídy totiž fixují jen prvočísla, která dělí modul — kdežto nízké frekvence ovlivňují všechna prvočísla až do tisíců.
03První nula: sudé a liché charaktery se liší
Nejbližší nula ke středovému bodu, x₁, je nejcitlivějším testem teorie. A tady se rodina rozdělí na dvě povahy:
| Liché charaktery · D < 0 | Sudé charaktery · D > 0 | |
|---|---|---|
| Model | jediná efektivní velikost matice Neff z domněnky poměrů | čistý model USp(2Neff) |
| Shoda | ✓ výborná popíše celé rozdělení x₁ pro všechny vodiče od 10³ do 10¹⁰ | ≠ posun první nula leží systematicky výš — o člen nižšího řádu |
| Trend | stabilní napříč 7 řády | rozdíl tvaru i posunu s rostoucím vodičem klesá — v rodině E100 při |D| = 10¹⁰ dokonce rychleji než odhad 1/ln(|D|/π) |
04Explicitní formule a duální člen
Poslední test se ptá: jak nuly reagují na jednotlivá prvočísla? Explicitní formule umožňuje tuto závislost změřit a porovnat s teorií. Pokud teorie sedí, má vztah „data vs. teorie“ sklon přesně 1.
Čisté diagonální členy dávají špatný, zhruba poloviční sklon. Teprve po zapojení duálního členu domněnky poměrů se teorie a data dokonale propojí: sklon vyskočí z 0,52–0,60 na 0,995–0,999.
05Co z toho plyne (a co ne)
✓ Co studie ukázala
Chování rodin L-funkcí na dlouhých i krátkých škálách podléhá hlubokému aritmetickému řádu, který přesně popisuje domněnka poměrů. Limita USp je správný cíl, ale k popisu reálných vodičů nestačí.
✗ Co z toho neplyne
Nuly byly testovány na kritické přímce. Zobecněná Riemannova hypotéza (GRH) tím není potvrzena ani vyvrácena.
Slovníček pojmů
- Diskriminant D a vodič |D|
- Číslo, které určuje kvadratický charakter χD. Jeho velikost |D| měří „složitost“ L-funkce a nastavuje hustotu jejích nul.
- USp
- Unitární symplektická grupa. Náhodné matice z ní mají vlastní čísla odpuzovaná od bodu 1 — obdoba středového bodu s = ½.
- Katzova–Sarnakova filozofie
- Statistika nul rodiny L-funkcí odpovídá v limitě jedné z klasických grup náhodných matic.
- Domněnka poměrů
- Recept (Conrey, Farmer, Zirnbauer) na průměry podílů L-funkcí přes rodinu. Dává i členy nižšího řádu pro konečné vodiče; pro jednohladinovou hustotu ji rozpracovali Conrey a Snaithová.
- χ² na koš
- Míra shody histogramu s teorií. Hodnota kolem 1 znamená, že rozdíly odpovídají statistickému šumu.
- Neff
- Efektivní velikost matice — počet, který z náhodné matice udělá nejlepší náhradu za rodinu s konečným vodičem.
- GRH
- Zobecněná Riemannova hypotéza: všechny netriviální nuly těchto L-funkcí leží na kritické přímce.
Studie III · Kvadratické Dirichletovy L-funkce (Katz–Sarnak)
Celá série na Zenodu: Studie I · Studie II · Studie III · licence CC BY 4.0 (text, data) a MIT (kód)
Grafy jsou interaktivní — najeďte myší na křivky a body.
The music of the primes · part 3 of 3
795,381 voices, one choir
After the zeta function comes a whole family of its relatives — the quadratic Dirichlet L-functions. Millions of zeros, one conjecture that governs them all, and a puzzle: why do “neighbours” make less noise than a random sample?
In the first two parts we listened to the solo of a single singer — the Riemann zeta function. Now a whole choir stands before us: 795,381 L-functions, each with its own zeros, all singing from the same score.
The third study focuses on the family of quadratic Dirichlet L-functions L(s, χD). The core family was later joined by the extended E100 family with another 121,557 functions. Together that is millions of computed zeros — and tests that decide between two great theories.
Take the zeta function 1 + 1/2s + 1/3s + … and give each term a sign χD(n). For a prime p, χD(p) = +1 if D is a square modulo p and −1 if it is not (and 0 if p divides D). Each number D — the discriminant — thus gives its own function. The size |D| is its conductor, a kind of “complexity”.
Unlike the zeta function, here the central point s = ½ plays a special role: the zeros are arranged symmetrically around it and — as we will see — avoid it.
01The ratios conjecture wins; the USp limit is still out of sight
According to Katz and Sarnak, in the limit of infinitely large conductors the zeros of such a family behave like the eigenvalues of random matrices from the unitary symplectic group USp. Their most famous signature: the density of zeros near the central point drops to zero — the zeros are repelled from it.
The trouble is that the limit really is a limit. The density near the central point falls from 0.772 (at |D| ≈ 2·10³) to 0.527 (at |D| = 10¹⁰) — and still sits 12.6 to 39 standard errors above the theoretical limit of 0.411.
The train is heading the right way, but each order of magnitude in the conductor moves it only a little. The corrections fade only like 1/ln |D| — and the logarithm grows incredibly slowly. From 10³ to 10¹⁰ is seven orders of magnitude, yet ln |D| grows only about threefold.
So what does describe the data? The ratios conjecture in the form of Conrey and Snaith, which also accounts for lower-order terms at finite conductor.
02The puzzle of contiguous families
The study compared two kinds of families: contiguous bands of consecutive discriminants and random samples of the same size. The contiguous families did suspiciously well in the tests — with a lower χ². Why?
The mechanism is elegant. The value χD(p) repeats periodically as D grows. In a stretch of consecutive discriminants of length Δ, the averages of χD(p) for primes p < Δ therefore run through almost complete periods — and their contributions cancel.
A contiguous family thus acts as a low-pass filter in prime frequency: it damps all the “tones” up to the cut-off frequency
uc = ln Δ / ln(|D|/π)
Similar effects have been studied in recent years in the literature on so-called murmurations of Dirichlet characters — unexpected waves that emerge when you average over large families.
A simpler explanation suggests itself: perhaps all that matters is how the residue classes D mod M are represented in the family. The study checked this for 19 different moduli from 3 to 840. Result: balancing residue classes does not fully reproduce the effect. Residue classes fix only the primes dividing the modulus — whereas the low frequencies are affected by all primes up into the thousands.
03The first zero: even and odd characters differ
The zero closest to the central point, x₁, is the most sensitive test of the theory. And here the family splits into two temperaments:
| Odd characters · D < 0 | Even characters · D > 0 | |
|---|---|---|
| Model | a single effective matrix size Neff from the ratios conjecture | pure USp(2Neff) model |
| Fit | ✓ excellent describes the whole distribution of x₁ for every conductor from 10³ to 10¹⁰ | ≠ offset the first zero sits systematically higher — by a lower-order term |
| Trend | stable across 7 orders of magnitude | the shape and offset difference shrinks with growing conductor — in the E100 family at |D| = 10¹⁰ even faster than the 1/ln(|D|/π) estimate |
04The explicit formula and the dual term
The last test asks: how do the zeros respond to individual primes? The explicit formula lets us measure this dependence and compare it with theory. If the theory is right, the “data vs. theory” relation has a slope of exactly 1.
The pure diagonal terms give the wrong slope — roughly half. Only once the dual term of the ratios conjecture is included do theory and data match perfectly: the slope jumps from 0.52–0.60 to 0.995–0.999.
05What follows (and what does not)
✓ What the study showed
The behaviour of families of L-functions on both long and short scales obeys a deep arithmetic order that the ratios conjecture describes precisely. The USp limit is the right destination, but it is not enough to describe real conductors.
✗ What does not follow
The zeros were tested on the critical line. The Generalised Riemann Hypothesis (GRH) is neither confirmed nor refuted by this.
Glossary
- Discriminant D and conductor |D|
- The number that defines the quadratic character χD. Its size |D| measures the “complexity” of the L-function and sets the density of its zeros.
- USp
- The unitary symplectic group. Random matrices from it have eigenvalues repelled from the point 1 — the analogue of the central point s = ½.
- Katz–Sarnak philosophy
- The zero statistics of a family of L-functions match, in the limit, one of the classical groups of random matrices.
- Ratios conjecture
- A recipe (Conrey, Farmer, Zirnbauer) for averages of ratios of L-functions over a family. It also gives lower-order terms at finite conductor; Conrey and Snaith worked it out for the one-level density.
- χ² per bin
- A measure of how well a histogram fits the theory. A value around 1 means the differences are consistent with statistical noise.
- Neff
- Effective matrix size — the number that makes a random matrix the best stand-in for a family with finite conductor.
- GRH
- The Generalised Riemann Hypothesis: all non-trivial zeros of these L-functions lie on the critical line.
Study III · Quadratic Dirichlet L-functions (Katz–Sarnak)
The whole series on Zenodo: Study I · Study II · Study III · licence CC BY 4.0 (text, data) and MIT (code)
The charts are interactive — hover over the curves and points.